Thực đơn
Đẳng thức lượng giác Hàm lượng giác nghịch đảoCác hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm nghịch đảo, cần giới hạn miền của hàm. Dươi đây là định nghĩa các hàm lượng giác nghịch đảo:
Giới hạn miền | Định nghĩa |
-π/2 < y < π/2 | y = arcsin(x) khi và chỉ khi x = sin(y) |
0 < y < π | y = arccos(x) khi và chỉ khi x = cos(y) |
-π/2 < y < π/2 | y = arctan(x) khi và chỉ khi x = tan(y) |
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 | y = arccot(x) khi và chỉ khi x = cot(y) |
0 < y < π và y ≠ π/2 | y = arcsec(x) khi và chỉ khi x = sec(y) |
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 | y = arccsc(x) khi và chỉ khi x = csc(y) |
Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin−1 hay cos−1 thay cho arcsin và arccos. Việc dùng ký hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với hàm mũ của hàm lượng giác.
Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:
arcsin z = z + ( 1 2 ) z 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) | z | < 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\arcsin z&=&z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1} arccos z = π 2 − arcsin z = π 2 − ( z + ( 1 2 ) z 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z 7 7 + ⋯ ) = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) | z | < 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\arccos z&=&{\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1} arctan z = z − z 3 3 + z 5 5 − z 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n + 1 2 n + 1 | z | < 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\arctan z&=&z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1} arccos z = arcsin ( z − 1 ) = z − 1 + ( 1 2 ) z − 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z − 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z − 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) z − ( 2 n + 1 ) 2 n + 1 | z | > 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\arccos z&=&\arcsin \left(z^{-1}\right)\\&=&z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|>1} arcsec z = arccos ( z − 1 ) = π 2 − ( z − 1 + ( 1 2 ) z − 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z − 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z − 7 7 + ⋯ ) = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) z − ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) | z | > 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {arcsec} z&=&\arccos \left(z^{-1}\right)\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|>1} arccot z = π 2 − arctan z = π 2 − ( z − z 3 3 + z 5 5 − z 7 7 + ⋯ ) = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n + 1 2 n + 1 | z | < 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {arccot} z&=&{\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1}Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.
arcsin ( x ) = ∫ 0 x 1 1 − z 2 d z , | x | < 1 {\displaystyle \arcsin \left(x\right)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1} arccos ( x ) = ∫ x 1 1 1 − z 2 d z , | x | < 1 {\displaystyle \arccos \left(x\right)=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1} arctan ( x ) = ∫ 0 x 1 1 + z 2 d z , ∀ x ∈ R {\displaystyle \arctan \left(x\right)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,\mathrm {d} z,\quad \forall x\in \mathbb {R} } arccot ( x ) = ∫ x ∞ 1 z 2 + 1 d z , z > 0 {\displaystyle \operatorname {arccot} \left(x\right)=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,\mathrm {d} z,\quad z>0} arcsec ( x ) = ∫ x 1 1 | z | z 2 − 1 d z , x > 1 {\displaystyle \operatorname {arcsec} \left(x\right)=\int _{x}^{1}{\frac {1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1} arccsc ( x ) = ∫ x ∞ − 1 | z | z 2 − 1 d z , x > 1 {\displaystyle \operatorname {arccsc} \left(x\right)=\int _{x}^{\infty }{\frac {-1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1}Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biến phức:
arcsin ( z ) = − i log ( i ( z + 1 − z 2 ) ) {\displaystyle \arcsin(z)=-i\log \left(i\left(z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)\right)} arccos ( z ) = − i log ( z + z 2 − 1 ) {\displaystyle \arccos(z)=-i\log \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)} arctan ( z ) = i 2 log ( 1 − i z 1 + i z ) {\displaystyle \arctan(z)={\frac {i}{2}}\log \left({\frac {1-iz}{1+iz}}\right)}Thực đơn
Đẳng thức lượng giác Hàm lượng giác nghịch đảoLiên quan
Đẳng thức lượng giác Đẳng cấp quý tộc Đại Anh Đẳng cấp thú cưng 2 Đẳng cấp quý tộc Vương quốc Liên hiệp Anh Đẳng cấp loài Đẳng cấp thú cưng Đẳng thức Đẳng cấp thứ ba (Hội nghị ba đẳng cấp Pháp) Đẳng cấp quý tộc Anh Đẳng cấp quý tộc ScotlandTài liệu tham khảo
WikiPedia: Đẳng thức lượng giác